Hippocrates van Chios was een Griekse wiskundige die leefde rond 430 v. Chr.
Hij schreef een invloedrijk werk Stoicheia over meetkunde
en het is vrijwel zeker dat Euclides zich hierop baseerde voor zijn eigen meetkundeboeken (Elementen).
Hieronder bespreken we het klassieke probleem van de maantjes van Hippocrates.
In de daaropvolgende documenten staan vijf variaties.
________________________________________________________________________________________________________________________________
VARIATIE 1
Twee cirkels raken elkaar uitwendig in een punt E.
[AB] en [CD] zijn middellijnen van deze twee cirkels die loodrecht staan op de rechte door hun middelpunten.
Een derde cirkel met middelpunt M gaat door de punten A, B, C en D.
Toon aan dat de oppervlakte van de twee 'groene maantjes'
gelijk is aan de oppervlakte van de twee blauwe gebieden.
_____________________________________________________________________________________________________________________________
VARIATIE 2
Op de figuur staat een rechthoekige driehoek, twee cirkels en een halve cirkel.
Toon aan dat oppervlakte van de rode gebieden gelijk is aan de oppervlakte van het groene gebied.
OPLOSSING
_____________________________________________________________________________________________________________________________
VARIATIE 3
Op de figuur staat een gelijkzijdige driehoek ,
de ingeschreven cirkel, een halve cirkel met middelpunt M
en een cirkelboog met middelpunt A.
Toon aan dat de geel gekleurde oppervlakte gelijk is
aan de oppervlakte van de gelijkzijdige driehoek.
Oplossing.
________________________________________________________________________________________________________________________________VARIATIE 4: een vraag uit de Vlaamse Junior Wiskunde Olympiade (2008)
OPLOSSING
________________________________________________________________________________________________________________________________
VARIATIE 5
Vanuit het hoekpunt A van een rechthoekige driehoek ABC
laat men de loodlijn neer op de zijde [AB].
H is het voetpunt van deze loodlijn.
Met de middens van de zijden [AB], [AC], [BC], [AH], [BH] en [CH] als middelpunt tekent men vijf cirkels zoals op de figuur.
Toon aan dat de som van de oppervlakten van de vier maantjes A1 + A2 + A3 + A4
gelijk is aan de oppervlakte van driehoek ABC.
Hint. A1 + A3 = opp. Δ ABH .
Maak jouw eigen website met JouwWeb