Hier maak je kennis met een vlakke kromme en een ruimtekromme en hun onderling verband.

We beginnen met de berekening van de lengte van één boog en van de oppervlakte onder één boog van een cycloïde.

Voor de oppervlakte suggereren we ook 'een bewijs zonder woorden' via kantelende regelmatige veelhoeken.

Op de bovenstaande figuur zie je hoe een regelmatige vijfhoek ABCDE vier keer na elkaar over een hoek van 72° wordt gekanteld (een rotatie over een hoek van 72° met als centra van de rotatie achtereenvolgens de punten E, F, G en H).
De vijfhoek rolt dus als het ware over een rechte lijn.
Het punt A komt zo achtereenvolgens in de posities P, Q, R en S terecht.

Wat blijkt nu (via een controle met GeoGebra)?
De oppervlakte van de vijfhoek APQRS is precies
drie maal de oppervlakte van de vijfhoek ABCDE.

Hierboven zie een 'bewijs zonder woorden' van P. Mallinson
voor een kantelende regelmatige tienhoek.
Merk op dat de oppervlakte van elk (roze) driehoekje dat boven de (rode) veelhoekige lijn uitsteekt gelijk is aan de oppervlakte van een (wit) driehoekje onder deze veelhoekige lijn.
Hierdoor klopt dit bewijs!